9 Indre produkt

Vi ønsker nu at studere vektorrum, hvor længder og (til dels) vinkler, som vi er vant til det fra $\mathbb{R}^n$ , giver mening. Vi lader $\mathbb{K}$ betegne et legeme, der enten er $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ , og betragter alene vektorrum $V$ over $\mathbb{K}$ . Vinkler og længder defineres da ud fra et såkaldt indre produkt, som er en afbildning

$\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{K} \tag{9.1}$ med passende egenskaber. Notationen vælges, så billedet af $({\bm{v}},\bm{w}) \in V \times V$ under $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ betegnes med $\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle$ . For at afbildningen $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ kan betragtes som et indre produkt, så kræver vi:

[Indre produkt] Afbildningen (9.1) kaldes for et indre produkt på $\mathbb{K}$ -vektorrummet $V$ , såfremt der for alle $\bm{u}, {\bm{v}}, \bm{w} \in V$ og skalarer $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ gælder:

Skalaren $\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle$ er et reelt tal og $\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle \geq 0.$
$\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle =0 \Rightarrow {\bm{v}}=\bm{0}$ .
$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = \overline{\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle}.$
$\langle{\alpha \cdot \bm{u} + \beta \cdot {\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = \alpha \cdot\langle{\bm{u}},{\bm{w}}\rangle + \beta \cdot\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle.$

Et vektorrum med et indre produkt kaldes samlet for et indre produkt rum.

Notationen $\overline{\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle}$ i Definition 9.1 (3.) betegner det til $\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle$ komplekst konjugerede tal. I tilfældet hvor $\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle$ er et reelt tal (f.eks. når $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ), så er $\overline{\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle}$ altså blot lig $\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle$ .
En kombination af betingelse (3.) og (4.) i Definition 9.1 implicerer, at
$\langle{\bm{w}},{\alpha \cdot \bm{u} + \beta \cdot {\bm{v}}}\rangle = \overline{\alpha} \cdot\langle{\bm{w}},{\bm{u}}\rangle + \overline{\beta} \cdot\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle,$ for alle $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ og alle $\bm{u}, {\bm{v}}, \bm{w} \in V$ .

Skalarproduktet på det reelle vektorrum $\mathbb{R}^n$ er afbildningen
$\begin{aligned} \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \rightarrow \mathbb{R}, \\ ({\bm{v}},\bm{w}) & \mapsto \bm{w}^T \cdot {\bm{v}}, \end{aligned}$ hvor $\bm{w}^T \cdot {\bm{v}} \in \mathrm{Mat}_1(\mathbb{R})$ betegner matrixproduktet, og hvor $\mathrm{Mat}_1(\mathbb{R})$ identificeres med $\mathbb{R}$ . Skalarproduktet er et indre produkt på $\mathbb{R}^n$ . Vi anvender også betegnelsen ${\bm{v}} \cdot \bm{w}$ om skalarproduktet $\bm{w}^T \cdot {\bm{v}}$ . Såfremt $v_1,v_2,\ldots,v_n$ og $w_1,w_2,\ldots,w_n$ betegner koordinaterne for hhv. ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ , så er
${\bm{v}} \cdot \bm{w} = \sum_{i=1}^n w_i \cdot v_i. \tag{9.2}$
Det komplekse skalarprodukt (eller blot skalarproduktet) på det komplekse vektorrum $\mathbb{C}^n$ er afbildningen
$\begin{aligned} \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n & \rightarrow \mathbb{C}, \\ ({\bm{v}},\bm{w}) & \mapsto \overline{\bm{w}}^T \cdot {\bm{v}}, \end{aligned}$ hvor $\overline{\bm{w}} \in \mathbb{C}^n$ betegner elementet $\bm{w}$ med alle koordinater komplekst konjugeret. Det komplekse skalarprodukt er et indre produkt på $\mathbb{C}^n$ . Vi anvender også betegnelsen ${\bm{v}} \cdot \bm{w}$ om skalarproduktet $\overline{\bm{w}}^T \cdot {\bm{v}}$ . Såfremt $v_1,v_2,\ldots,v_n$ og $w_1,w_2,\ldots,w_n$ betegner koordinaterne for hhv. ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ , så er
${\bm{v}} \cdot \bm{w} = \sum_{i=1}^n \overline{w_i} \cdot v_i. \tag{9.3}$ Specielt har vi, at
$\begin{aligned} {\bm{v}} \cdot {\bm{v}} & = \overline{v_1} \cdot {v_1} + \overline{v_2} \cdot {v_2} + \ldots + \overline{v_n} \cdot {v_n} \\ & = \lvert v_1 \rvert^2 + \lvert v_2 \rvert^2 + \ldots + \lvert v_n \rvert^2, \end{aligned}$ hvor notationen $\lvert \alpha \rvert$ , for $\alpha \in \mathbb{C}$ , betegner modulus af det komplekse tal $\alpha$ . Det er dermed klart, at betingelserne (1.) og (2.) i Definition 9.1 er opfyldt.
Betragt et $\mathbb{K}$ -vektorrum $V$ der er er isomorf med $\mathbb{K}^n$ via en lineær isomorfi
$L : \mathbb{K}^n \rightarrow V.$ Ved at definere
$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = L^{-1}({\bm{v}}) \cdot L^{-1}(\bm{w}),$ hvor højresiden betegner skalarproduktet af $L^{-1}({\bm{v}})$ og $L^{-1}(\bm{w})$ , så opnår vi et indre produkt på $V$ . Denne definition kan også formuleres vha. basisbegrebet: som beskrevet i Eksempel 7.19 (1.), så er $L$ på formen $L_\mathcal{V}$ for en basis $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots, {\bm{v}}_n)$ for $V$ . Den inverse afbildning til $L$ er da givet ved
$L^{-1}({\bm{v}}) = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} ,$ hvor $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ betegner koordinatvektoren til ${\bm{v}}$ mht. basen $\mathcal{V}$ . Specielt er
$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \cdot [\bm{w}]_{\mathcal{V}}.$ Det indre produkt $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ er dermed bestemt ud fra $\mathcal{V}$ , og vi anvender derfor også betegnelsen $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle_\mathcal{V}$ om dette. Vi vil senere se (jf. Proposition 10.30), at ethvert indre produkt på $V$ er på formen $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle_\mathcal{V}$ .
Lad $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ betegne et indre produkt på et vektorrum $V$ , og lad $W$ betegne et underrum i $V$ . Så vil $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ inducere et indre produkt på $W$ via
$\begin{aligned} W \times W & \rightarrow \mathbb{K}, \\ (\bm{w}_1,\bm{w}_2) & \mapsto\langle{\bm{w}_1},{\bm{w}_2}\rangle. \end{aligned}$
Lad $I=[ a, b ]$ , med $a < b$ , betegne et lukket interval i $\mathbb{R}$ , og lad $C(I,\mathbb{R})$ betegne det reelle vektorrum af kontinuerte reelle funktioner på $I$ . Så definerer
$\langle{f},{g}\rangle = \int_a^b f(t)\cdot g(t) \,\mathrm{d} t \tag{9.4}$ et indre produkt på $C(I,\mathbb{R})$ . At betingelse (1.) i Definition 9.1 er opfyldt, skyldes, at
$\langle{f},{f}\rangle = \int_a^b f(t)^2 \,\mathrm{d} t \tag{9.5}$ er et integral af en ikke-negativ funktion (husk på beskrivelsen af integraler som arealer under grafer). Betingelse (2.) følger fra kontinuitetsbetingelsen på $f$ , idet hvis $f(s) \neq 0$ , for et $s$ i intervallet $[ a, b ]$ , så vil $f(t)^2 > \epsilon$ , for ethvert $t$ i et interval $J$ omkring $t$ og for et passende $\epsilon>0$ . Dette giver et positivt bidrag til integralet (9.5), og implicerer, at $\langle{f},{f}\rangle \neq 0$ . Egenskab (3.) og (4.) er oplagte og der er dermed defineret et indre produkt på $C(I,\mathbb{R})$ . Mere generelt kan man, for et fastholdt positivt reelt tal $c$ , tilsvarende vise, at
$\langle{f},{g}\rangle = c \cdot \int_a^b f(t)\cdot g(t) \,\mathrm{d} t$ definerer et indre produkt.
Betragt nu et interval $I=[ a, b ]$ som ovenfor og det tilsvarende komplekse vektorrum $C(I,\mathbb{C})$ af komplekse kontinuerte funktioner på $I$ . Så definerer
$\langle{f},{g}\rangle = \int_a^b f(t)\cdot \overline{g(t)} \,\mathrm{d} t \tag{9.6}$ et indre produkt på $C(I,\mathbb{C})$ . Beviset følger tilsvarende som for vektorrummet $C(I,\mathbb{R})$ ovenfor. Som i det reelle tilfælde, så vil
$\langle f , g \rangle = c \cdot \int_a^b f(t)\cdot \overline{g(t)} \,\mathrm{d} t \tag{9.7}$ for et positivt reelt tal $c$ , også definere et indre produkt.
Lad $P_n(\mathbb{K})$ betegne $\mathbb{K}$ -vektorrummet af polynomier af grad $<n$ over $\mathbb{K}$ . Hvis $a_1,a_2,\allowbreak\ldots,\allowbreak a_n \in \mathbb{K}$ betegner parvist forskellige elementer i $\mathbb{K}$ , så definerer
$\langle{p},{q}\rangle = \sum_{i=1}^n p(a_i) \overline{q(a_i)} \tag{9.8}$ et indre produkt på $P_n(\mathbb{K})$ . Egenskab (3.) og (4.) er oplagt opfyldte. Egenskab (1.) er opfyldt, idet
$\langle{p},{p}\rangle = \sum_{i=1}^n \lvert p(a_i) \rvert^2 \tag{9.9}$ er et ikke-negativt reelt tal. Udtrykket (9.9) er samtidig kun nul, såfremt
$p(a_1) = p(a_2) = \ldots = p(a_n) =0,$ dvs. hvis alle $a_1,a_2,\ldots,a_n$ er rødder til $p$ . Men polynomier i $P_n(\mathbb{K})$ har højst $n-1$ nulpunkter, med mindre polynomiet er nul (jf. Proposition B.13), og vi konkluderer dermed, at polynomiet $p$ er nul, hvis $\langle{p},{p}\rangle=0$ . Vi har hermed vist, at (9.8) definerer et indre produkt. For fastholdte positive reelle tal $c_1,c_2,\ldots,c_n$ , så kan man tilsvarende vise, at
$\langle{p},{q}\rangle = \sum_{i=1}^n c_i \cdot p(a_i) \overline{q(a_i)} \tag{9.10}$ definerer et indre produkt.

Quiz

I det følgende betegner $\alpha$ et reelt tal. Vi betragter det reelle vektorrum $V=\mathbb{R}^2$ og en afbildning

$\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R},$ givet ved, at

$\langle{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}}\rangle = ac + \alpha b d.$ Angiv, hvornår $\langle{{}\cdot{}},{{}\cdot{}}\rangle$ definerer et indre produkt på $V$ .

Gælder for alle værdier af $\alpha$

$\alpha >0$

$\alpha <0$

$\alpha \geq 0$

$\alpha \geq 1$

$\alpha =0$

Umiddelbart kan det virke mere naturligt at definere det komplekse skalarprodukt på $\mathbb{C}^n$ som

${\bm{v}} \cdot \bm{w} = \bm{w}^T {\bm{v}}.$ Dette er dog ikke muligt, idet man, i givet fald, ville have

$\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = 1 \cdot 1+i \cdot i = 0,$ og betingelse (2.) i Definition 9.1 ville derfor ikke være opfyldt.

Vi kan nu præcisere, hvad vi mener med normen (eller længden) af en vektor.

[Norm] Lad $V$ betegne et indre produkt rum. Normen af et element ${\bm{v}} \in V$ defineres som

$\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert = \sqrt{\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle } \in \mathbb{R}_{\geq 0}.$

Betragt $\mathbb{C}^2$ som et indre produkt rum via det komplekse skalarprodukt. Angiv normen af elementet

$\begin{pmatrix} 3i \\ 4 \end{pmatrix}$

Dit svar: Det er en

Vi skynder os at bemærke et par grundlæggende egenskaber ved indre produkter.

Lad ${\bm{v}}$ betegne et element i et indre produkt rum $V$ , og lad $\alpha \in \mathbb{K}$ betegne en skalar. Så:

Hvis $\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert =0$ , så er ${\bm{v}}=\bf0$ .
$\left\lVert \alpha {\bm{v}} \right\rVert = \lvert \alpha \rvert \cdot \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert$ .
$\langle{\bm{0}},{{\bm{v}}}\rangle = 0$ .

Bevis

Udsagn (1.) følger af Definition 9.1 (2.). Udsagn (2.) følger via beregningen

$\begin{aligned} \left\lVert \alpha {\bm{v}} \right\rVert & = \sqrt{\langle{\alpha {\bm{v}}},{\alpha {\bm{v}}}\rangle } & & \\ & = \sqrt{\alpha\langle{{\bm{v}}},{\alpha {\bm{v}}}\rangle} & & \text{(jf. Definition \href{#def:indre}{9.1} \href{#item:def:indre:4}{(4.)})} \\ & = \sqrt{\alpha \overline{\alpha}\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle } & & \text{(jf. Bemærkning \href{#rem:indre}{9.2} \href{#item:rem:indre:2}{(2.)})} \\ & = \sqrt{\lvert \alpha \rvert^2\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle} & & \\ & = \lvert \alpha \rvert \cdot \sqrt{\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle} & & \\ &= \lvert \alpha \rvert \cdot \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert . & & \end{aligned}$ Udsagn (3.) er en konsekvens af betingelse (4.) i Definition 9.1, idet vi kan skrive $\bm{0}$ som $0 \cdot {\bm{v}}$ , jf. Proposition 5.2 (1.).

Normen giver os også mulighed for at definere en afstand mellem to vektorer.

[Afstand mellem vektorer] Lad $V$ betegne et indre produkt rum, og lad ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ betegne elementer i $V$ . Afstanden mellem ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ defineres som normen $\left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert$ af vektoren ${\bm{v}}-\bm{w}$ .

Betragt $\mathbb{R}^3$ som et indre produkt rum via skalarproduktet. Angiv afstanden mellem de to elementer

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}.$

Dit svar: Det er en

[Ortogonalitet] Elementer ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ i et indre produkt rum kaldes ortogonale, hvis $\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle =0$ . I givet fald så skriver vi også ${\bm{v}} \perp \bm{w}$ .

Betragt $\mathbb{R}^3$ som et indre produkt rum via skalarproduktet. Angiv værdien for skalaren $\alpha$ , så følgende elementer er ortogonale.

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \\ 6 \end{pmatrix}.$

Dit svar: Det er en

Vi bemærker, at ortogonalitet, jf. betingelse (3.) i Definition 9.1, er symmetrisk i de to relevante vektorer ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ ; dvs. vi har

$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle =0 \Longleftrightarrow \langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle =0.$

For det indre produkt rum $\mathbb{R}^2$ udstyret med skalarproduktet er ortogonalitet det samme som vinkelret. F.eks. vil en vektor
${\bm{v}} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$ være ortogonal på den tilsvarende hat-vektor
$\hat {\bm{v}} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2.$
Betragt det reelle indre produkt rum $C([ -\pi, \pi ], \mathbb{R})$ defineret ved (9.4) som i Eksempel 9.3 (5.). Så er funktioner $f(t) = \cos(t)$ og $g(t)=\sin(t)$ ortogonale, idet
$\langle{f},{g}\rangle = \int_{-\pi}^\pi \cos(t) \cdot \sin(t) \,\mathrm{d} t = \left[ \tfrac{1}{2} \sin^2(t)\right]_{-\pi}^\pi=0.$

Det følgende resultat omtales som Pythagoras' sætning.

[Pythagoras' sætning] Lad ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ betegne ortogonale vektorer i et indre produkt rum $V$ . Så

$\left\lVert {\bm{v}} + \bm{w} \right\rVert ^2 = \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2.$

Bevis

Påstanden følger ved anvendelse af Definition 9.1 (4.) og Bemærkning 9.2 (2.) i beregningen

$\begin{aligned} \left\lVert {\bm{v}} + \bm{w} \right\rVert ^2 & = \langle{{\bm{v}}+\bm{w}},{{\bm{v}}+\bm{w}}\rangle & & \\ & =\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle +\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle +\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle +\langle{\bm{w}},{\bm{w}}\rangle & & \\ & =\langle{{\bm{v}}},{{\bm{v}}}\rangle +\langle{\bm{w}},{\bm{w}}\rangle & & \\ &= \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2, & & \end{aligned}$ hvor det tredje lighedstegn følger fra ortogonaliteten af ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ .

[Projektion på vektor] Lad ${\bm{v}}, \bm{w}$ , med $\bm{w} \neq \bm{0}$ , betegne elementer i et indre produkt rum $V$ . En vektor $\bm{p} \in V$ på formen $\bm{p}=\alpha \cdot \bm{w}$ , for $\alpha \in \mathbb{K}$ , kaldes for en ortogonal projektion af ${\bm{v}}$ på $\bm{w}$ , såfremt $\bm{w}$ og ${\bm{v}}-\bm{p}$ er ortogonale.

Projektion på vektor

Lad ${\bm{v}}, \bm{w}$ , med $\bm{w} \neq \bm{0}$ , betegne elementer i et indre produkt rum $V$ . Der findes netop en ortogonal projektion $\bm{p}$ af ${\bm{v}}$ på $\bm{w}$ , og denne er givet ved

$\bm{p} = \frac{\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle}{\langle{\bm{w}},{\bm{w}}\rangle} \bm{w}. \tag{9.11}$

Betragt det reelle vektorrum $\mathbb{R}^3$ som et indre produkt rum via skalarproduktet. Angiv den ortogonale projektion af $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ på $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix} \frac{40}{29} \\[6pt] \frac{60}{29} \\[6pt] \frac{80}{29} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{44}{29} \\[6pt] \frac{66}{29} \\[6pt] \frac{88}{29} \end{pmatrix}$

Bevis

Pr. definition, så vil $\alpha \cdot \bm{w}$ , for $\alpha \in \mathbb{K}$ , være en ortogonal projektion af ${\bm{v}}$ på $\bm{w}$ , såfremt

$\langle{{\bm{v}} - \alpha \cdot \bm{w}},{\bm{w}}\rangle =\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle - \alpha \cdot\langle{\bm{w}},{\bm{w}}\rangle=0,$ hvilket netop gælder, når

$\alpha = \frac{\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle}{\langle{\bm{w}},{\bm{w}}\rangle}. \tag{9.12}$

[Cauchy-Schwarz' ulighed] For vektorer ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ i et indre produkt rum $V$ gælder der uligheden

$\lvert \langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle \rvert \leq \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert \cdot \left\lVert \bm{w} \right\rVert , \tag{9.13}$ hvor venstresiden betegner modulus værdien af skalaren $\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle$ .

Bevis

Uligheden er opfyldt, hvis $\bm{w}=\bm{0}$ ifølge Lemma 9.7 (3.). Antag derfor, at $\bm{w} \neq \bm{0}$ , og lad $\bm{p}$ betegne den ortogonale projektion af ${\bm{v}}$ på $\bm{w}$ . Så er

${\bm{v}} = \bm{p} + ({\bm{v}} - \bm{p}),$ og $\bm{p}$ og ${\bm{v}} - \bm{p}$ er ortogonale. Ifølge Pythagoras' sætning er normen af ${\bm{v}}$ derfor givet ved

$\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 = \left\lVert \bm{p} \right\rVert ^2 + \left\lVert {\bm{v}}- \bm{p} \right\rVert ^2 \geq \left\lVert \bm{p} \right\rVert ^2.$ Specielt er $\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert \geq \left\lVert \bm{p} \right\rVert$ . Men formel (9.11) sammen med Lemma 9.7 (2.) betyder, at

$\left\lVert \bm{p} \right\rVert = \frac{\lvert \langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle \rvert}{\left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2} \cdot \left\lVert \bm{w} \right\rVert = \frac{\lvert \langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle \rvert} {\left\lVert \bm{w} \right\rVert },$ og dermed

$\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert \geq \frac{\lvert \langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle \rvert}{\left\lVert \bm{w} \right\rVert },$ som er ækvivalent med den ønskede ulighed (9.13).

Såfremt $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ , så implicerer Proposition 9.15, at der for givne elementer ${\bm{v}},\bm{w} \in V \setminus \{ \bm{0} \}$ eksisterer et entydigt tal $\theta$ i intervallet $[ 0, \pi ]$ , så

$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert \left\lVert \bm{w} \right\rVert \cos(\theta) .$ Tallet $\theta$ omtales også som vinklen mellem ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ . At $\theta = \frac{\pi}{2}$ er da ækvivalent med, at ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ er ortogonale.

[Trekantsuligheden] For elementer ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ i et indre produkt rum $V$ gælder der

$\left\lVert {\bm{v}} + \bm{w} \right\rVert \leq \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert + \left\lVert \bm{w} \right\rVert .$

Bevis

Vi starter med at bemærke, at hvis $\alpha = a + i b$ , med $a,b \in \mathbb{R}$ , betegner et komplekst tal (specielt, hvis $\alpha$ er et reelt tal), så er summen $\alpha + \overline{\alpha}$ et reelt tal, og

$\alpha + \overline{\alpha} = 2 a \leq 2 \sqrt{a^2+b^2} = 2 \cdot \lvert \alpha \rvert.$ Sættes $\alpha = \langle {\bm{v}},\bm{w} \rangle$ , så opnår vi derfor

$\begin{aligned} \left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 & = \langle{{\bm{v}}+\bm{w}},{{\bm{v}}+\bm{w}}\rangle && \\ & =\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + \alpha + \overline{\alpha} + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2 & & \\ & \leq \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + 2 \cdot \lvert \alpha \rvert + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2 & & \\ & \leq \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + 2 \cdot \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert \cdot \left\lVert \bm{w} \right\rVert + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2 & & \text{(Jf. Prop. \href{#prop:CSthm}{9.15})} \\ & = (\left\lVert {\bm{v}} \right\rVert + \left\lVert \bm{w} \right\rVert )^2,& & \end{aligned}$ hvorfra det ønskede følger.

Umiddelbart virker det overraskende, at det indre produkt er bestemt ud fra normen. Dette er dog indholdet af følgende sætning.

[Polariseringsidentiteten] Lad ${\bm{v}}$ og $\bm{w}$ betegne elementer i et indre produkt rum $V$ . Hvis $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ , så er

$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = \tfrac{1}{4} ( \left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2),$ mens hvis $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ , så er

$\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle = \tfrac{1}{4} (\left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2 + i \cdot \left\lVert {\bm{v}}+i\bm{w} \right\rVert ^2 - i \cdot \left\lVert {\bm{v}}-i\bm{w} \right\rVert ^2 ).$

Bevis

Idet

$\begin{aligned} \left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 & =\langle{{\bm{v}}+\bm{w}},{{\bm{v}}+\bm{w}}\rangle \\ & = \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2 +\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle +\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle , \end{aligned}$ og tilsvarende

$\begin{aligned} \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2 & =\langle{{\bm{v}}-\bm{w}},{{\bm{v}}-\bm{w}}\rangle \\ & = \left\lVert {\bm{v}} \right\rVert ^2 + \left\lVert \bm{w} \right\rVert ^2 -\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle -\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle , \end{aligned}$ så ses

$\left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2 = 2(\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle +\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle). \tag{9.14}$ Såfremt $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ , så er $\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle =\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle$ , og (9.14) kan da omskrives til

$\left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2 = 4 \cdot\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle,$ hvilket implicerer det ønskede. Vi har dermed reduceret til tilfældet $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ . Når $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ anvender vi (9.14) på elementerne ${\bm{v}}$ og $i \cdot \bm{w}$ , og opnår

$\left\lVert {\bm{v}}+i\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-i\bm{w} \right\rVert ^2 = 2( -i \cdot\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle + i \cdot\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle), \tag{9.15}$ som multipliceret med $i$ giver

$i \cdot \left\lVert {\bm{v}}+i\bm{w} \right\rVert ^2 - i \cdot \left\lVert {\bm{v}}-i\bm{w} \right\rVert ^2 = 2(\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle -\langle{\bm{w}},{{\bm{v}}}\rangle). \tag{9.16}$ Adder nu begge sider af (9.14) med de tilsvarende sider af identiteten (9.16), og opnå

$\left\lVert {\bm{v}}+\bm{w} \right\rVert ^2 - \left\lVert {\bm{v}}-\bm{w} \right\rVert ^2 + i \cdot \left\lVert {\bm{v}}+i\bm{w} \right\rVert ^2 - i \cdot \left\lVert {\bm{v}}-i\bm{w} \right\rVert ^2 = 4 \cdot\langle{{\bm{v}}},{\bm{w}}\rangle,$ hvilket implicerer det ønskede.